Question

（14分）2006年5月3日進行撫仙湖水下考古，潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進行
考察，氧氣瓶形狀如圖，其結構為一個圓柱和一個圓臺的組合（設氧氣瓶中氧氣已充滿，所
給尺寸是氧氣瓶的內徑尺寸），潛水員在潛入水下米的過程中，速度為米／分，每分鐘
需氧量與速度平方成正比（當速度為1米／分時，每分鐘需氧量為0．2L）；在湖底工作時，
每分鐘需氧量為0．4 L；返回水面時，速度也為米／分，每分鐘需氧量為0．2 L，若下
潛與上浮時速度不能超過p米／分，試問潛水員在湖底最多能工作多少時間?（氧氣瓶體積
計算精確到1 L，、p為常數，圓臺的體積V=,其中h為高，r、R分
別為上、下底面半徑．）

Answer 1

解： 氧氣瓶中氧氣的體積
V=17 L．
設潛入水下米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=k²，
因當速度為1 m/分時，每分鐘需氧量0．2 L，所以k=0．2，
故來回途中需氧量為×0．2+，則在湖底的工作時間為

當且僅當，=1時取等號．
所以①當p≥1時，的最大值是42．5－．
②當p<1時，
－
即當時，在湖底的工作時間的最大值為
因此，當p≥1時，潛水員在湖底最多能工作42．5－分鐘；
當p＜l時，潛水員在湖底最多能工作分鐘．

解析