Question

如圖，已知曲線C₁：x²+y²=1（|x|＜1），C₂：x²=8y+1（|x|≥1），動直線l與C₁相切，與C₂相交于A，B兩點，曲線C₂在A，B處的切線相交于點M．
（1）當MA⊥MB時，求直線l的方程；
（2）試問在y軸上是否存在兩個定點T₁，T₂，當直線MT₁，MT₂斜率存在時，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在，求出滿足的T₁，T₂點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設半圓C₁上的切點P（x₀，y₀），直線l_AB：x₀x+y₀y=1，代入C₂：x²=8y+1，消去y，利用韋達定理，結合MA⊥MB，求出切點坐標，即可得到直線l的方程；
（2）求出曲線C₂在A，B處的切線，可得兩直線的交點坐標，進而利用兩直線的斜率之積恒為定值，可得方程組，即可求出滿足的T₁，T₂點坐標．

解答：解：（1）設半圓C₁上的切點P（x₀，y₀），直線l_AB：x₀x+y₀y=1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
代入C₂：x²=8y+1，消去y可得y₀x²+8x₀x-y₀-8=0得：x₁x₂=

-y0-8

y0

．
MA⊥MB時，y_Ay_B=

1

16

x₁x₂=

1

16

•

-y0-8

y0

=-1，得y₀=

8

15

，
又x₀²+y₀²=1，求得：x₀=±

161

15

，
∴所求的直線方程為：±

161

x+8y-15=0．
（2）曲線C₂在A，B處的切線分別為：y=

1

4

x₁x-

1

8

x₁²-

1

8

，y=

1

4

x₂x-

1

8

x₂²-

1

8

，
兩直線的交點M（

x1+x2

2

，

1

8

（x₁x₂-1）），即M（-

4x0

y0

，-

1

4

-

1

y0

），
設M（x，y），則由

x=- 4x0 y0 y=- 1 4 - 1 y0

求得：

x0= x 4y+1 y0= -4 4y+1

，代入x₀²+y₀²=1，化得x²=16y²+8y-15，
設T₁（0，t₁），T₂（0，t₂），則
k_MP•k_MQ=

(y-t1)(y-t2)

x2

=

1

16

•

y2-(t1+t2)y+t1t2

y2+ 1 2 y- 15 16

為定值，
必須t₁+t₂=-

1

2

，t₁t₂=-

15

16

，解得：

t1= 3 4 t2=- 5 4

或

t1=- 5 4 t2= 3 4

，不妨取T₁（0，-

5

4

），T₂（0，

3

4

）．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查切線方程，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．