Question

（2007•廣州一模）如圖，已知曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于點O，A，直線x=t（0＜t≤1）與曲線C₁，C₂分別相交于點D，B，連結OD，DA，AB，OB．
（1）寫出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數關系式S=f（t）；
（2）求函數S=f（t）在區間（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先聯立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區間，再用定積分表示出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積，即可求得函數關系式S=f（t）；
（2）由（1）確定了函數及其導數的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數的單調區間，對字母a進行分類討論，根據函數的單調性求出函數f（x）在區間（0，1]上的最大值．

解答：解析（1）由　

y=x2 y=-x2+2ax

解得

x=0 y=0

或

x=a y=a2

．
∴O（0，0），A（a，a²）．又由已知得B（t，-t²+2at），D（t，t²），
∴S=

∫

t 0

（-x²+2ax）dx-

1

2

t×t²+

1

2

（-t²+2at-t²）×（a-t）
=（-

1

3

x³+ax²）|

t 0

-

1

2

t³+（-t²+at）×（a-t）=-

1

3

t³+at²-

1

2

t³+t³-2at²+a²t=

1

6

t³-at²+a²t．
∴S=f（t）=

1

6

t³-at²+a²t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=

1

2

t²-2at+a²，令f′（t）=0，即

1

2

t²-2at+a²=0．解得t=（2-

2

）a或t=（2+

2

）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+

2

）a應舍去．
若（2-

2

）a≥1，即a≥

1

2- 2

=

2+ 2

2

時，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在區間（0，1]上單調遞增，S的最大值是f（1）=a²-a+

1

6

．
若（2-

2

）a＜1，即1＜a＜

2+ 2

2

時，當0＜t＜（2-

2

）a時f′（t）＞0．當（2-

2

）a＜t≤1時，f′（t）＜0．
∴f（t）在區間（0，（2-

2

）a]上單調遞增，在區間（（2-

2

）a，1]上單調遞減．
∴f（t）的最大值是f（（2-

2

）a）=

1

6

[（2-

2

）a]³-a[（2-

2

）a]²+a²（2-

2

）a=

2 2 -2

3

a³．

點評：本題考查利用定積分求面積，考查導數在最大值、最小值問題中的應用，以及學生靈活轉化題目條件的能力，屬于中檔題．