Question

已知函數f(x)=²+lnx-1.

（1）試證明x₀∈(1,2)，使得f(x₀)=0;

（2）已知不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e］（e=2.718…）恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）求證：在區間(1,+∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)=x³的圖象的下方.

Answer 1

(1)證明：∵f(1)=-1=＜0，f(2)=1+ln2＞0,

∴f(1)·f(2)＜0且函數f(x)在（1,2）上連續.

∴函數f(x)在（1,2）上有零點，即x₀∈(1,2)，使得f(x₀)=0.

（2）解:f′(x)=x+,

當x∈(0,e］時，f′(x)＞0,

∴函數f(x)在(0,e］上為增函數.

∴f(x)_max=f(e)=e².

不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e］恒成立等價于m≥f(x)_max，x∈(0,e］.

∴m≥e².

（3）證明：令F(x)=f(x)-g(x)=x²+lnx-1x³,

則F′(x)=x+-2x²==.

∵當x＞1時F′(x)＜0，

∴函數F(x)在區間(1,+∞)上為減函數.

∴F(x)＜F(1)=-1＜0,

即在(1,+∞)上，f(x)＜g(x).

∴在區間(1,+∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)=x³的圖象的下方.