Question

設F₁，F₂分別是橢圓C：的左右焦點，
（1）設橢圓C上的點到F₁，F₂兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標
（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF₁的中點B的軌跡方程
（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓C上的點到F₁，F₂兩點距離之和等于4，可知2a=4，求得a．把點和a代入橢圓的標準方程，可求得b．進而可得橢圓的標準方程和焦點坐標．
（2）設KF₁的中點為B（x，y）則點K（2x+1，2y），把K的坐標代入橢圓的標準方程，可得到x和y的關系式即點B的軌跡方程
（3）設M（x，y），N（-x，-y），p（x，y） 把這些點代入橢圓的標準方程，得到后兩式相減可得到的值，然后表示出k_PM，K_PN后相乘并將的值代入可得到結論．
解答：解：（1）由于點在橢圓上，
2a=4，
橢圓C的方程為
焦點坐標分別為（-1，0），（1，0）
（2）設KF₁的中點為B（x，y）則點K（2x+1，2y）
把K的坐標代入橢圓中得
線段KF₁的中點B的軌跡方程為
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱
設M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）
M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
得

k_PM•K_PN==-
k_PM•K_PN的值與點P及直線L無關
點評：本題主要考查橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題．橢圓在圓錐曲線中所占比重最大，考查的也最多，要強化復習．