Question

（2013•鹽城二模）如圖，在海岸線l一側C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米．公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處（點D異于A、B兩點），然后乘同一艘游輪前往C島．據統計，每批游客A處需發車2輛，B處需發車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元．設∠CDA=α，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元．
（1）寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問中轉點D距離A處多遠時，S最小？

Answer 1

分析：（1）由題在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得運輸成本S的解析式．
（2）利用導數求得cosα=

1

3

時，函數S取得極小值，由此可得中轉點D到A的距離以及S的最小值．

解答：解：（1）由題在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=

π

3

，∠CDA=α，∴∠ACD=

2π

3

-α．
又AB=BC=CA=10，△ACD中，
由正弦定理知

CD

sin π 3

=

AD

sin( 2π 3 -α)

=

10

sinα

，得 CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

，…（3分）
∴S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80=

60 3 -40sin( 2π 3 -α)

sinα

+80
=20

3

3-cosα

sinα

+60(

π

3

＜x＜

2π

3

)．…（7分）
（2）S′=20

3

1-3cosα

sin2α

，令S′=0，得cosα=

1

3

．…（10分）
當cosα＞

1

3

時，S′＜0；當cosα＜

1

3

時，S′＞0，∴當cosα=

1

3

時S取得最小值．…（12分）
此時，sinα=

2 2

3

，AD=

5 3 cosα+5sinα

sinα

=5+

5 6

4

，
∴中轉站距A處

20+5 6

4

千米時，運輸成本S最小．…（14分）

點評：本題主要考查正弦定理，利用導數研究函數的單調性，由函數的單調性求極值，屬于中檔題．