Question

（2013•鹽城二模）設函數y=f（x）滿足對任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知當x∈[0，1]時，有f（x）=2-|4x-2|，則f(

2013

6

)的值為

5

．

Answer 1

分析：由條件求得可得 f（x+2）=f（x），故函數是周期為2的周期函數，可得 f(

2013

6

)=f（-

1

2

），先求得f（

1

2

）的值，
根據f²（x+1）+f²（x）=9，即可求得f（-

1

2

）的值，從而求得 f(

2013

6

) 的值．

解答：解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，即 f²（x+1）=9-f²（x），
∴f²（x+2）=9-f²（x+1），化簡可得 f²（x+2）=9-[9-f²（x）]=f²（x）．
再由 函數y=f（x）滿足對任意的x∈R，f（x）≥0，可得 f（x+2）=f（x），故函數是周期為2的周期函數．
∴f(

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6

)=f（336-

1

2

）=f（-

1

2

）．
又 f²（-

1

2

）=9-f2(-

1

2

+1)=9-f²（

1

2

），
再由當x∈[0，1]時，有f（x）=2-|4x-2|，可得f（

1

2

）=2-|4×

1

2

-2|=2，
故 f²（-

1

2

）=9-f²（

1

2

）=9-4=5，故f（-

1

2

）=

5

，
故f(

2013

6

)=f（-

1

2

）=

5

，
故答案為

5

．

點評：本題主要考查了抽象函數的求值，同時考查了函數的周期性，屬于中檔題．