Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．E，F(xiàn)，G分別為線段PC，PD，BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，試給出證明．

Answer 1

分析：（1）證明EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB，從而得到平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB內(nèi)，故有PA∥平面EFG．
 （2）取PB中點為Q，則Q滿足題意．先判斷A、D、E、Q四點共面，證明AD⊥PC，DE⊥PC，可證得PC⊥面ADEQ．

解答：（1）證明：∵PE=EC，PF=FD，故EF是△PDC的中位線，∴EF∥CD．  又 CD∥AB，∴EF∥AB，
∴EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB．  又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB內(nèi)，
∴PA∥平面EFG．
（2）取PB中點為Q，則Q滿足題意．
證明：由中點可知：EQ∥BC，而AD∥BC，∴EQ∥AD，
∴A、D、E、Q四點共面．
∵CD⊥AD，面PDC⊥面ABCD于CD，AD在平面ABCD內(nèi)，
∴AD⊥平面PDC，AD⊥PC，又PD=DC，∠PDC=90°，
∴△PDC為等腰直角三角形，∵PE=EC，∴DE⊥PC，AD∩DE=D，
∴PC⊥面ADEQ．∴Q為PB的中點時，PC⊥面ADQ．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定定理以及直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，
證明AD⊥PC，DE⊥PC，是解題的關(guān)鍵．