Question

如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB⊥AP，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，現將△PCD沿折線CD折成直二面角P-CD-A，設E，F分別是PD，BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線BE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中點M，連接EM，MF，EF，證明平面EMF∥平面PAB，可得EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明PD⊥平面ABCD，求出BE，利用等體積求出E到平面PAB的距離，從而可求直線BE與平面PAB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取AD中點M，連接EM，MF，EF，則
∵E，F分別是PD，BC的中點，
∴EM∥PA，MF∥AB
∵EM∩MF=M，PA∩AB=A
∴平面EMF∥平面PAB
∵EF?平面EMF
∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）解：∵二面角P-CD-A為直二面角，AD⊥DC
∴AD⊥平面PDC
∵PD?平面PDC，∴PD⊥AD
∵PD⊥DC，AD∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
設E到平面PAB的距離為h，連接BD，則BD=3

2

，
∵PD=4，∴PB=

34

，BE=

22

∵PA=5，AB=3，∴PA⊥AB，∴S△PAB=

1

2

×3×5=

15

2

∵S△PAE=

1

2

×2×3=3
∴由等體積可得：

1

3

×3×3=

1

3

×

15

2

×h，∴h=

6

5

∴直線BE與平面PAB所成角的正弦值為

6 5

22

=

3 22

55

．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及線面角的度量，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．