Question

下列曲線的所有切線構成的集合中,存在無數對互相垂直的切線的曲線是(　　)

A．f(x)=ex	B．f(x)=x3
C．f(x)=lnx	D．f(x)=sinx

Answer 1

D

設切點的橫坐標為x₁,x₂,
則存在無數對互相垂直的切線,即f'(x₁)·f'(x₂)=-1有無數對x₁,x₂使之成立,
對于A由于f'(x)=e^x>0,
所以不存在f'(x₁)·f'(x₂)=-1成立;
對于B由于f'(x)=3x²≥0,
所以也不存在f'(x₁)·f'(x₂)=-1成立;
對于C由于f(x)=lnx的定義域為(0,+∞),
∴f'(x)=>0;
對于D,由于f'(x)=cosx,
所以f'(x₁)·f'(x₂)=cosx₁·cosx₂,
若x₁=2mπ,m∈Z,x₂=(2k+1)π,k∈Z,
則f'(x₁)·f'(x₂)=-1恒成立.