Question

一次函數f（x）是R上的增函數，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若g（x）在（1，+∞）單調遞增，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈[-1，3]時，g（x）有最大值13，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f（x）是R上的增函數，設f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5，可得方程組，求出a，b，即可求f（x）；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，利用二次函數的性質，結合函數在（1，+∞）單調遞增，可求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）對二次函數的對稱軸，結合區間分類討論，利用當x∈[-1，3]時，g（x）有最大值13，即可求實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的增函數，∴設f（x）=ax+b，（a＞0）---------------------（1分）
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5
∴

a2=16 ab+b=5

，---------------------------------（3分）
解得

a=4 b=1

或

a=-4 b=- 5 3

（不合題意舍去）---------------------------------（5分）
∴f（x）=4x+1---------------------------------（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m---------------（7分）
對稱軸x=-

4m+1

8

，根據題意可得-

4m+1

8

≤1，---------------------------------（8分）
解得m≥-

9

4

∴m的取值范圍為[-

9

4

，+∞)---------------------------------（9分）
（Ⅲ）①當-

4m+1

8

≤1時，即m≥-

9

4

時g（x）_max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合題意；（11分）
②當-

4m+1

8

＞1時，即m＜-

9

4

時g（x）_max=g（-1）=3-3m=13，解得m=-

10

3

，符合題意；（13分）
由①②可得m=-2或m=-

10

3

------------------------------（14分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查二次函數的性質，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，確定函數解析式是關鍵．