Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得極值．
（Ⅰ）確定a的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=2時(shí)有極值，可得f′（2）=0，從而可求出a的值，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，極大值為f(-2)=

28

3

，極小值為f(2)=-

4

3

，要使關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則b在兩極值之外即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax³-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax²-4
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2時(shí)有極值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得  a=

1

3

，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以f(x)=

1

3

x3-4x+4所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，當(dāng)x變化時(shí)f′（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增↗	極大值	單調(diào)遞減↘	極小值	單調(diào)遞增↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值，并且極大值為f(-2)=

28

3

；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值，并且極小值為f(2)=-

4

3

；
要使關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍為(-∞，-

4

3

]∪[

28

3

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的極值為載體，考查函數(shù)解析式的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的極值的求解，綜合性強(qiáng)．