【題目】已知橢圓
的左、右焦點
，
，
是橢圓
上的動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
是橢圓的左、右頂點，直線
與橢圓在點
處的切線交于點
，當點在橢圓上運動時，求證：以
為直徑的圓與直線
恒相切.
【答案】（1）
，離心率為
；（2）見解析
【解析】
（1）由題得關于
的方程組，解之即得橢圓的方程和離心率；（2）由題意可設直線
的方程為
，設點
的坐標為
，求出 
，
；再對
分類討論得當點在橢圓上運動時，以
為直徑的圓與直線
恒相切.
（1）由題意可設橢圓
的方程為
，
；由題意知
，
解得
，
，所以橢圓的方程為，離心率為
；
（2）證明：由題意可設直線的方程為，
則點
坐標為
，中點
的坐標為
；
由
，得
；
設點的坐標為，則
，所以，；
因為點
坐標為
，當
時，點的坐標為
，直線
軸，點的坐標為
，
此時以為直徑的圓
與直線相切；
當
時，則直線的斜率為
，所以直線的方程為
，
點到直線的距離為
；
又因為
，所以
，故以為直徑的圓與直線相切；
綜上，當點在橢圓上運動時，以為直徑的圓與直線恒相切.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市環保部門為了讓全市居民認識到冬天燒煤取暖對空氣
數值的影響，進而喚醒全市人民的環保節能意識。對該市取暖季燒煤天數
與空氣數值不合格的天數
進行統計分析，得出下表數據：
| 9 | 8 | 7 | 5 | 4 |
| 7 | 6 | 5 | 3 | 2 |
（1）以統計數據為依據，求出關于的線性回歸方程
；
（2）根據（1）求出的線性回歸方程，預測該市燒煤取暖的天數為20時空氣數值不合格的天數．
參考公式：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點
，點
均在圓
上，且
，過點
作
的平行線分別交
，
于
兩點.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）過點
的動直線
與點的軌跡交于
兩點．問是否存在常數
，使得
點為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲袋中裝有2個白球，3個黑球，乙袋中裝有1個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同.
（1）從兩袋中各取1個球，記事件
：取出的2個球均為白球，求
；
（2）每次從甲、乙兩袋中各取2個球，若取出的白球不少于2個就獲獎（每次取完后將球放回原袋），共取了3次，記獲獎次數為
，寫出的分布列并求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
過點A
，兩個焦點為（-1，0），（1，0）。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用
，化簡，得
.設勾股形中勾股比為
，若向弦圖內隨機拋擲
顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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