Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析（3）答案見解析

【解析】

（1）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；

（2）由（Ⅰ）知，，分時(shí)，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；

（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1），

，

設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，

則，

又，

曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即；

（2）由（1）知，，

故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，；，，；

的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；

綜上所述，時(shí)，單調(diào)遞增為，無遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由，得：，只有一個(gè)零點(diǎn)．