Question

已知的三個頂點，，，其外接圓為．

(1)若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；

(2)對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求的半徑的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求的外接圓方程可用待定系數法或利用兩邊垂直平分線的交點先求出圓心，再利用兩點之間距離公式求出半徑，求出圓的方程后再利用待定系數法求出直線的方程，此時要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論；（2）可設出點的坐標，再把點的坐標用其表示，把點的坐標代入圓的方程，利用方程組恒有解去考察半徑的取值范圍，但要注意三點不能重合，即圓和線段無公共點.

試題解析：(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，的方程為． 4分

設圓心到直線的距離為，因為直線被截得的弦長為2，所以．

當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求； 6分

當直線不垂直于軸時，設直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或． 8分

(2) 直線的方程為，設，

因為點是點，的中點，所以，又都在半徑為的上，

所以即 10分

因為該關于的方程組有解，即以為圓心為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓有公共點，所以， 12分

又，所以對]成立．

而在[0，1]上的值域為[，10]，故且． 15分

又線段與圓無公共點，所以對成立，即.故的半徑的取值范圍為． 16分

考點：圓的方程，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系.