Question

已知的三個頂點都在拋物線上，且拋物線的焦點滿足，若邊上的中線所在直線的方程為（為常數且）．

（1）求的值；

（2）為拋物線的頂點，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，拋物線的焦點滿足，從而知BC邊上的中點符合，因此點在直線上，令，可得拋物線的焦點的坐標，由此可求得的值；（2）首先設出的坐標：，由已知，即可得，而，最終即可證得為定值．

試題解析：（1）因為拋物線的焦點滿足，取BC邊上的中點，則，故點在直線上，令，得，得拋物線的焦點，于是，． 5分

（2）記，由知：， 7分

且．于是，

．證畢． 13分

考點：1．拋物線的標準方程及其簡單幾何性質；2．直線與拋物線的位置關系；3．解析幾何中定值問題的解法．