Question

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內．

（此題不要求在答題卡上畫圖）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】（I）依題意得解得  從而b=,………………………………………3分

故橢圓方程為．……………………………………………………………………4分

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），設．

點在橢圓上，．………………………………………………………      5分

又點異于頂點

由三點共線可得，…………………………………………………………………6分

從而．……………………………………………………………7分

，………………………………………………10分

將①式代入②式化簡得．…………………………………………………………12分

>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,

故點在以為直徑的圓內.………………………………………………………………………. 14分

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為．…………………………….. 6分

點M、N分別在直線AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③

聯立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分

，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝.  ④

又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.   ⑤………9分

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

．＝（－2）…………………………………………………………    12分

N點在橢圓上，且異于頂點A、B，<0.

又，> 0, 從而．<0.

故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內………………………………14分

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點Q的坐標為（），………………………………………5分

化簡得－＝（－2）（－2）＋.             ⑥………………8分

直線AP的方程為，直線BP的方程為………………10分

點P在準線x＝4上，

，即.                       ⑦

又M點在橢圓上，＋＝1，即          ⑧……… 12分

于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.

從而B在以MN為直徑的圓內…………………………………………………………………       14分