Question

已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值．
（1）試求動點P的軌跡方程C；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M．N兩點，當(dāng)時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值，建立方程，化簡可求動點P的軌跡方程C．
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與曲線C方程聯(lián)立，利用韋達定理計算弦長，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標(biāo)是（x，y），由題意得：k_PAk_PB=
∴，化簡，整理得
故P點的軌跡方程是，（x≠±）
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，x₁ x₂=
|AB|=，
整理得，7k⁴-2k²-5=0，解得k²=1，或k²=-（舍）
∴k=±1，經(jīng)檢驗符合題意．
∴直線l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．