Question

已知動點P與平面上兩定點A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

．
（Ⅰ）試求動點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，
①當|MN|=

4 2

3

時，求直線l的方程．
②線段MN上有一點Q，滿足

MQ

=

1

2

MN

，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）根據經過兩點的直線的斜率公式，結合題意建立關于點P（x，y）坐標的關系式，化簡整理即可得到所求動點P的軌跡方程C；
（II）由（I）求出的軌跡方程與直線y=kx+1消去y，得到關于x的一元二次方程．
①解所得的一元二次方程，得到x₁、x₂關于k的式子，根據弦長公式列方程解出k=±1，從而得到直線l的方程；
②由線段的中點坐標公式，算出Q坐標關于x₁、x₂和y₁、y₂的形式，代入直線方程并結合

MQ

=

1

2

MN

進行化簡整理，可得x²+2y²-2y=0．再由直線l與曲線C交于M、N兩點，可得△＞0，得k≠0從而得到x的取值范圍，即可給出點Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y），則根據題意，有

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，整理得

x2

2

+y2=1．由于x≠±

2

，
所以求得的曲線C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
（Ⅱ）設點M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+1.

消去y得：(1+2k2)x2+4kx=0．
①解得x₁=0，x₂=

-4k

1+2k2

．
由|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

|

4k

1+2k2

|=

4

3

2

，解得：k=±1．
∴直線l的方程x-y+1=0或x+y-1=0；
②設點Q的坐標為（x，y），
∵

MQ

=

1

2

MN

，
∴點Q為線段MN的中點，可得x=

x1+x2

2

=

-2k

1+2k2

，
∴y=kx+1=k•

-2k

1+2k2

+1=

1

1+2k2

，
消去k，得方程：x²+2y²-2y=0．
因曲線C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)，故直線不過點(±

2

，0)，即k≠±

2

2

又∵直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，
∴△=（-4k）²＞0，即k≠0，
因此，x≠0，且x≠±

2

2

，
綜上，所求點Q的軌跡方程為x2+2y2-2y=0(x≠0，且x≠±

2

2

)．

點評：本題通過求動點的軌跡方程，考查了向量的坐標運算、直線的斜率公式、直線與圓錐曲線的關系和一元二次方程根的判別式等知識，屬于中檔題．