Question

已知函數f（x）=a（1-|x-1|），a為常數，且a＞1．
（1）證明函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（2）當a=2時，討論方程f（f（x））=m解的個數；
（3）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，但f（x₀）≠x₀，則稱x₀為函數f（x）的二階周期點，則f（x）是否有兩個二階周期點，說明理由．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數的圖象,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數對稱的性質即可證明函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（2）當a=2時，求出f（f（x））的表達式，利用數形結合即可得到結論；
（3）根據階周期點的定義，分別求滿足條件的x₀，即可得到結論．

解答： 解：（1）設點（x₀，y₀）為f（x）上任意一點，則
f（2-x₀）=a（1-|2-x₀-1|）=a（1-|1-x₀|）=a（1-|x₀-1|）=y₀=f（x₀），
所以，函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱．…（4分）
（2）當a=2時，f（f（x））=

4x， x＜ 1 2 4-4x， 1 2 ≤x＜1 4x-4， 1≤x≤ 3 2 8-4x， x＞ 3 2

…（8分）
如圖，當m＜0時，方程有2個解；
m=0時，方程有3個解；當0＜m＜2時，方程有4個解；當m=2時，方程有2個解．…（9分）
綜合上述，當m＜0或m=2時，方程有2個解；
當m=0時，方程有3個解；當0＜m＜2時，方程有4個解．…（10分）
（3）因f（x）=

a(2-x)，x≥1 ax，x＜1

，
所以，當x≥1，f（f（x））=f（f（x））=a（1-|a（2-x）-1|）．
若a（2-x）-1≥0，即1≤x≤2-

1

a

，f（f（x））=2a-2a²+a²x；
若a（2-x）-1＜0，即x＞2-

1

a

，f（f（x））=a²（2-x）．
當x＜1，同理可得，

1

a

≤x＜1，f（f（x））=a（2-ax）；
當x≤

1

a

時，f（f（x））=a²x．
所以，f（f（x））=

a2x， x＜ 1 a a(2-ax)， 1 a ≤x＜1 2a-2a2+a2x， 1≤x≤2- 1 a a2(2-x)， x＞2- 1 a

…（14分）
從而f（f（x））=x有四個解：0，

2a

a2+1

，

2a

a+1

，

2a2

a2+1

…（16分）
又f（0）=0，f（

2a

a2+1

=

2a2

a2+1

≠

2a

a2+1

，
f（

2a

a+1

）=a（2-

2a

a2+1

）=

2a

a+1

，
f（

2a2

a2+1

）=a（2-

2a2

a2+1

）=

2a

a2+1

≠=

2a2

a2+1

，
所以只有

2a

a+1

，

2a2

a2+1

是二階周期點．…（18分）

點評：本題主要考查函數對稱性的證明以及函數方程根的個數的判斷，利用數形結合是解決本題的關鍵．，綜合性較強．