【題目】已知橢圓
的右焦點是拋物線
的焦點，直線
與
相交于不同的兩點
．
（1）求的方程；
（2）若直線經過點
，求
的面積的最小值(
為坐標原點)；
（3）已知點
，直線經過點
，
為線段
的中點，求證：
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）見解析
【解析】
（1）由題意方程求出右焦點坐標，即拋物線焦點坐標，進一步可得拋物線方程；
（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求得|y1﹣y2|，代入三角形面積公式，利用二次函數求最值；
（3）分直線AB的斜率存在與不存在，證明有
，可得CA⊥CB，又D為線段AB的中點，則|AB|＝2|CD|．
（1）∵橢圓
的右焦點為
，∴
， ∴
的方程為．
（2）（解法1）顯然直線
的斜率不為零，設直線的方程為
，
由
，得
，則
，
∴當
，即直線垂直
軸時，
的面積取到最小值，最小值為．
（解法2）若直線的斜率不存在，由
，得
，
的面積
，
若直線的斜率存在，不妨設直線的方程為
，
由
，得
，
，且
，
，
即的面積的最小值為．
（3）（解法1）∵直線的斜率不可能為零，設直線方程為
，
由
得
，∴，
，
∴
，即
，
在
中，
為斜邊
的中點，所以
．
（解法2）（前同解法1）/span>
線段的中點的坐標為
，
所以．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
為等差數列
的公差，數列
的前
項和
，滿足
（
），且
，若實數
（
，
），則稱
具有性質
.
（1）請判斷
、
是否具有性質
，并說明理由；
（2）設
為數列的前項和，若
是單調遞增數列，求證：對任意的
（，），實數
都不具有性質；
（3）設
是數列
的前項和，若對任意的，
都具有性質，求所有滿足條件的的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，實數
滿足
；
（1）當函數
的定義域為
時，求的值域；
（2）求函數關系式
，并求函數
的定義域
；
（3）在（2）的結論中，對任意
，都存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，
底面，
，
為線段
的中點，
為線段
上的動點.
（1）平面
與平面
是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由．
（2）若
，為線段的三等分點，求多面體
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，如果存在實數
（
，且
不同時成立），使得
對
恒成立，則稱函數
為“
映像函數”.
（1）判斷函數
是否是“映像函數”，如果是，請求出相應的的值，若不是，請說明理由；
（2）已知函數
是定義在
上的“
映像函數”，且當
時，
.求函數（
）的反函數；
（3）在（2）的條件下，試構造一個數列
，使得當
時，
，并求時，函數的解析式，及
的值域．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別是雙曲線
的左、右焦點，過
斜率為
的直線
交雙曲線的左、右兩支分別于
兩點，過
且與垂直的直線
交雙曲線的左、右兩支分別于
兩點.
（1）求的取值范圍；
(2)求四邊形
面積的最小值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了提高學生的身體素質，某校高一、高二兩個年級共336名學生同時參與了“我運動，我健康，我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取7名和5名學生進行測試.下表是高二年級的5名學生的測試數據（單位：個/分鐘）：
（1）求高一、高二兩個年級各有多少人？
（2）設某學生跳繩
個/分鐘，踢毽
個/分鐘.當
，且
時，稱該學生為“運動達人”.
①從高二年級的學生中任選一人，試估計該學生為“運動達人”的概率；
②從高二年級抽出的上述5名學生中，隨機抽取3人，求抽取的3名學生中為“運動達人”的人數
的分布列和數學期望.
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