Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切．
（1）求橢圓C的方程，
（2）設A（﹣4，0），過點R（3，0）作與x軸不重合的直線L交橢圓C于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線x= 于M，N兩點，若直線MR、NR的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問：k1 k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得e= = ，a2﹣b2=c2，

以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切，

可得d═ =b，解得a=4，b=2 ，c=2，

故橢圓C的方程為 =1；

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

直線PQ的方程為x=my+3，代入橢圓方程3x2+4y2=48，

得（4+3m2）y2+18my﹣21=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由A，P，M三點共線可知， = ，即yM= ；

同理可得yN= ．

所以k1k2= = ．

因為（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，

所以k1k2= =﹣ ．

即k1k2為定值﹣

【解析】（1）運用橢圓的離心率公式和直線與圓相切的條件，解方程可得a，b的值，進而得到橢圓方程；（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），直線PQ的方程為x=my+3，代入橢圓方程，運用韋達定理和三點共線斜率相等，運用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．