Question

在四棱錐中，側面底面，，為中點，底面是直角梯形，，,,.

（1）求證：面；
（2）求證：面面；
（3）設為棱上一點，，試確定的值使得二面角為.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）能確定，.

試題分析：（1）先證明為平行四邊形，所以，即證明；（2）先證明面，所以，再證明 面，從而得到面面；（3）先建立空間直角坐標系，所以即為面法向量，令面法向量為，利用夾角的余弦求出，又在棱上，所以對的值進行取舍.
試題解析：（1）證明：記中點為. 連結、 ，
則 AB  FE 所以AB FE     1分
所以為平行四邊形.                      2分
又,             4分
（2）連結在直角梯形中.，，，所以，   5分
面，  6分
又 ， ∴ 面，  7分
而面 面面      8分

（3）以為原點, 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系.
，，，，
令，∵，∴又面
∴即為面法向量
又令面法向量為，則
令，∴
又二面角為
，即
解得
又在棱上 ∴ ∴為所求.