Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且．
（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）設橢圓的離心率為，MN的最小值為，求橢圓方程．

Answer 1

解：（1）設橢圓的焦距為2c（c＞0），
則其右準線方程為x=，且F₁（-c，0），F₂（c，0）．
設，
則
．
因此
即．
于是，故∠MON為銳角．
所以原點O在圓C外．
（2）因為橢圓的離心率為，所以a=2c，
于是M（4c，y₁）N（4c，y₂），且
MN²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=|y₁|²+|y₂|²+2|y₁y₂|≥4|y₁y₂|=60c²．
當且僅當y₁=-y₂=或y₂=-y₁=時取“=”號，
所以（MN）_min=2c=2，于是c=1，從而a=2，b=，
故所求的橢圓方程是．
分析：（1）C是以MN為直徑的圓，求出M，N的坐標，利用，判斷，求得原點O在圓C的內部；
（2）設橢圓的離心率為，推出a=2c，利用基本不等式，通過MN的最小值為求出c，a，b，從而求出橢圓方程．
點評：本題考查點與圓的位置關系，橢圓的標準方程，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，是中檔題．