Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₁的中點，求證：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

【答案】分析：（I）過點A、B的直線方程為．，因為有惟一解，所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），故a²+4b²-4=0．由題意知，故所求的橢圓方程為．
（II）由（I）得，故，從而．，由，解得x₁=x₂=1，所以．由此可推出∠ATM=∠AF₁T．
解答：解：（I）過點A、B的直線方程為．
，
因為由題意得有惟一解，
即有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又因為，即，
所以a²=4b²．
從而得，
故所求的橢圓方程為．
（II）由（I）得，
故，
從而．
，
由
解得x₁=x₂=1，
所以．
因為，
又，，
得=，
因此∠ATM=∠AF₁T．
點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．