Question

已知函數f（x）=x²-2|x|-1的圖象，并寫出該函數的單調區間與值域．
（1）利用絕對值及分段函數知識，將函數f（x）的解析式寫成分段函數；
（2）在給出的坐標系中畫出f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間和值域．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的意義，分x≥0、x＜0兩種情況去掉絕對值，即可得到函數f（x）分段函數形式的解析式；
（2）根據函數奇偶性的定義，證出函數f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱，再結合二次函數圖象的作法，即可作出函數如圖所示的圖象．由函數的圖象則不難寫出函數的單調區間，求出函數的值域．

解答：解：（1）∵當x≥0時，|x|=x；當x＜0時，|x|=-x，
∴函數的解析式為：f(x)=x2-2|x|-1=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

------（3分）
（2）∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1
∴f（-x）=f（x），得函數是偶函數，圖象關于y軸對稱
因此，作出函數y=x²-2x-1在y軸右側的圖象，再作關于y軸對稱
得到函數在y軸左側的圖象．可得如右圖所示f（x）的圖象---------（6分）
由圖象可知：
函數y=f（x）的單調增區間為（-1，0），（1，+∞）；單調減區間為（-∞，-1），（0，1）-----（9分）
函數的最小值為f（1）=f（-1）=-2，故函數的值域為：[-2，+∞）--------------（12分）

點評：本題給出含有絕對值的二次形式的函數，求函數的單調性與值域．著重考查了二次函數的圖象與性質、函數圖象的作法與函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．