Question

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示，墩的上部分是正四棱柱P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH，圖2，圖3分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖．

（1）求該安全標識墩的體積；
（2）證明：直線BD⊥平面PEG．

Answer 1

分析：（1）由V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH，能求出該安全標識墩的體積．
（2）連接EG、HF及BD，EG與HF相交于O，連接PO，由正四棱錐的性質知PO⊥平面EFGH，由此能夠證明BD⊥平面PEG．

解答：解：（1）該安全標識墩的體積為

V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH
=

1

3

×402×60+402×20
=64000（cm³）．
（2）連接EG、HF及BD，EG與HF相交于O，
連接PO，由正四棱錐的性質可知
PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．

點評：本題考查幾何體體積的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，仔細解答．