Question

設a，b，c分別是△ABC的三個角A，B，C所對的邊，研究A=2B是a²=b（b+c）的什么條件？以下是某同學的解法：
由A=2B，得sinA=sin2B，即：sinA=2sinB•cosB⇒a=2bcosB
⇒a=2b•

a2+c2-b2

2ac

．變形得a²c=a²b+bc²-b³⇒a²（c-b）
=b（b+c）（c-b）
所以，b=c或a²=b（b+c）
由此可知：A=2B是a²=b（b+c）的必要非充分條件．
請你研究這位同學解法的正誤，并結合自己的思考，可以得到“A=2B”是“a²=b（b+c）”的（　　）條件．

A．充分非必要

B．必要非充分

C．充要

D．非充分非必要

Answer 1

分析：此同學的解法過程沒有問題，只是沒有意識到b=c時，亦有a²=b（b+c）成立，此說明此解法化角為邊有不完善之處，現提供另一解法，從角的三角函數的角度進行證明，先化邊為角，再利用三角恒等變換公式進行變形證明出結論，選出正確選項

解答：解：此同學的解法是錯誤的，這是因為當b=c時，亦有a²=b（b+c），這是一個特殊情況，這說明此解法有不完善之處，正確證明過程如下：
先證a²=b（b+c）是A=2B的充分條件
∵a²=b（b+c）
∴4R²sinA²=4R²sinB（sinB+sinC）
∴sinA²=sinB（sinB+sinC）
∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinB×sinC
又sinA-sinB=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）
=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

×2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=sin（A-B）sin（A+B）
又sin（A-B）sin（A+B）=sinB×sinC=sinB×sin（A+B）
∴sin（A-B）=sinB
∴A-B=B
∴A=2B
再證a²=b（b+c）是A=2B的必要條件，
由上證每步都可逆，故A=2B時，亦有a²=b（b+c），即A=2B是a²=b（b+c）的充分條件
綜上得，該同學證明錯誤，應為充要條件
故選C

點評：本題是一個證明題，充要條件的證明要分充分性與必要性分別證明，解題的關鍵是正確理解充要條件證明的規律，理解充要條件，分清楚那個證明方向是充分性那個證明方向是必要性，由此同學的證明方法可以得出這么一個結論即證明問題時選取的角度不同，證明的結論可能是不同的，對一個題找到最合適的證明方法是正確求解的重點．