Question

已知定點F(1，0)，點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，且=0，動點N滿足2=0.

(Ⅰ)求點N的軌跡C的方程；

(Ⅱ)G為曲線C的準線與x軸的交點，過點G的直線l交曲線C于不同的兩點A、B，若點D為AB的中點，在x軸上存在一點E，使=0，求的取值范圍(O為坐標原點).

Answer 1

解：(1)設P(0,s),M(t,0),N(x,y),則由=0,得t+s²=0  ①

由2=0,得2(x,y-s)+(t-x,-y)=(0,0)即    ②；

②代入①得軌跡方程為y²=4x

(Ⅱ)設直線方程為y=k(x+1),代入y²=4x,得k²x²+2(k²-2)x+k²=0,由得0＜k²＜1.  ③

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),D(x₀,y₀),由知,故直線DE的方程為：y=,令y=0,得x_E=1+,∵0＜k²＜1,故x_E＞3,即||的取值范圍為：(3,+∞) 。