Question

已知定義在R上的偶函數滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當x∈[0,2]時，y＝f(x)單調遞減．給出以下四個命題：

①f(2)＝0；

②x＝－4為函數y＝f(x)圖像的一條對稱軸；

③函數y＝f(x)在[8,10]上單調遞增；

④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x₁，x₂，則x₁＋x₂＝－8.

以上命題中所有正確命題的序號為________．

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函數f(x)是偶函數，故f(2)＝0；根據f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)的周期是4，由于偶函數的圖像關于y軸對稱，故x＝－4也是函數y＝f(x)的圖像的一條對稱軸；根據函數的周期性可知，函數f(x)在[8,10]上單調遞減，③不正確；由于函數f(x)的圖像關于直線x＝－4對稱，故如果方程f(x)＝m在區間[－6，－2]上的兩根為x₁，x₂，則＝－4，即x₁＋x₂＝－8.故正確命題的序號為①②④.