Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

A．f（x）是奇函數，但不是偶函數

B．f（x）是偶函數，但不是奇函數

C．f（x）既是奇函數，又是偶函數

D．f（x）既非奇函數，又非偶函

Answer 1

分析：由題意可得給a，b賦值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=-1，可得f（-1）=0，令a=x，b=-1，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：令a=b=1，則有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=-1，則有f（1）=-2f（-1），
所以f（-1）=0，
若令a=x，b=-1，
所以有f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數．
故選A．

點評：本題考查了函數奇偶性的定義，即f（-x）與f（x）的關系，而研究抽象函數的奇偶性一般運用的方法是賦值法，此題是個基礎題．