Question

設定義在R上的函數f（x）對任意x，y∈R均滿足：f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

），且f（0）=0，當x＞0時，f（x）＞0．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在R上的單調性；
（3）若f（1）=1，且不等式f（-k•2^x）+f（9+4^x）≥2對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由于f（0）=0，令y=-x即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）設x₁＜x₂，依題意可證f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=2f（

x2-x1

2

）＞0，從而可判斷f（x）在R上為單調遞增函數；
（3）依題意得，f（

9+4x-1

2

）≥f（

1+k•2x

2

），又f（x）在R上為單調遞增函數，有

9+4x-1

2

≥

1+k•2x

2

，即有k≤2^x+

7

2x

對任意x∈[0，+∞）恒成立，利用基本不等式可求得h（x）=2^x+

7

2x

的最小值，從而得到答案．

解答： 解：（1）f（x）為奇函數．下面給出證明：
∵f（0）=0，f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

），
∴令y=-x得：f（x）+f（-x）=2f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
（2）f（x）在R上為單調遞增函數．
理由如下：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=2f（

x2-x1

2

），
∵x＞0時，f（x）＞0，而x₂-x₁＞0，

x2-x1

2

＞0，
∴2f（

x2-x1

2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上為單調遞增函數；
（3）∵f（1）=1，且不等式f（-k•2^x）+f（9+4^x）≥2對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（9+4^x）-f（1）≥f（1）-f（-k•2^x）=f（1）+f（k•2^x），
即f（9+4^x）+f（-1）≥f（1）+f（k•2^x），
即2f（

9+4x-1

2

）≥2f（

1+k•2x

2

），
∴f（

9+4x-1

2

）≥f（

1+k•2x

2

），
又f（x）在R上為單調遞增函數，
∴

9+4x-1

2

≥

1+k•2x

2

，
∴k≤2^x+

7

2x

對任意x∈[0，+∞）恒成立，
令h（x）=2^x+

7

2x

，則h（x）≥2

7

（當且僅當x=log₄7時取等號），
∴h（x）_min=2

7

，
∴k≤2

7

．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性與單調性的確定，考查等價轉化思想與綜合運算能力，考查基本不等式的應用，屬于難題．