Question

在直角坐標系中，過雙曲線x2-

y2

9

=1的左焦點F作圓x²+y²=1的一條切線（切點為T）交雙曲線右支于P，若M為線段FP的中點，則OM-MT=

 

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的性質求出PE和OM；利用解三角形的方法把各邊長MF和FT求出來進而把MT表示出來；代入即可求OM-MT的值．

解答：解：設PF=2x，則由雙曲線的定義得：PE=2x-2，所以OM=

PE

2

=x-1，
又因為MT=FT-MF=FT-

PF

2

=

OF2-OT2

-x=

c2-a2

-x=3-x，
∵（3-x）²+1=（x-1）²
∴x=

9

4

故OM-MT=x-1-（3-x）=2x-4=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題主要考查雙曲線的定義的應用，直線與圓的位置關系以及三角形中的有關結論．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．