Question

【題目】如圖，將正六邊形ABCDEF中的一半圖形ABCD繞AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF與AD的交點．
（Ⅰ）求證：平面ADEF⊥平面B1FG；
（Ⅱ）求直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由正六邊形對稱性可知BF⊥AD， 因此B1G⊥AD，FG⊥AD．
又B1G∩FG=G，B1G平面B1GF，FG平面B1GF，
所以AD⊥平面B1GF．
又因為AD平面ADEF，
所以平面ADEF⊥平面B1FG．
（Ⅱ）（方法一）

由（Ⅰ）已得平面B1GF⊥平面ADEF．
作B1H⊥FG于H，
又由于平面B1GF∩平面ADEF=FG，
所以B1H⊥平面ADEF．
連接AH，則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角．
不妨設正六邊形邊長為2．
則AF=AB1=2且∠B1AF=60°，∠B1AG=∠FAG=60°
得B1F=2， ．
在△B1GF中， = ．
． ，
，
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 ．
（方法二）如圖，以A為坐標原點，以AD為x軸，
過A在平面ADEF內作垂直于AD的直線為y軸，
過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標系．

不妨設正六邊形邊長為2．則 ， ，
設 ．
由
得x①．
由 得 ②．
又 ③．
由①②③得 ．所以 ．
取平面ADEF的法向量 ． ．
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）推導出B1G⊥AD，FG⊥AD，從而AD⊥平面B1GF，由此能證明平面ADEF⊥平面B1FG．（Ⅱ）法一：作B1H⊥FG于H，連接AH，則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角，由此能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值．法二：以A為坐原點，以AD為x軸，過A在平面ADEF內作垂直于AD的直線為y軸，過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．