Question

【題目】已知正項數列{an}，其前n項和Sn滿足6Sn=an2+3an+2，且a1 ， a2 ， a6是等比數列{bn}的前三項．
（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；
（2）記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn ， n∈N*，求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：因為6Sn=an2+3an+2①，所以6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2②，

所以②﹣①得：6Sn﹣6Sn﹣1=an2+3an+2﹣an﹣12+3an﹣1+2，

所以3an+3an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），

又因為正項數列{an}，所以an+an﹣1＞0，

所以an﹣an﹣1=3，

當n=1時，6S1=a12+3a1+2，

所以a1=1或2，

又因為a1=2時，a2=2+3=5，a6=2+5*3=17，顯然a1，a2，a6不是等比數列，

所以a1=1，

所以an=a1+（n﹣1）d=3n﹣2；

又因為a1，a2，a6是等比數列{bn}的前三項，

所以a2=4，a6=16，

所以q=4，

所以bn}=a1*qn﹣1=4n﹣1

（2）解：由（1）可知anbn=（3n﹣2）*4n﹣1，

所以Tn=a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1+anbn=1*41+4*42+…+（3n﹣5）*4n﹣2+（3n﹣2）*4n﹣1①，

所以4Tn=1*42+4*43+…+（3n﹣5）*4n﹣1+（3n﹣2）*4n②，

所以①﹣②得：（1﹣4）Tn=1*41+3*42+3*43…+3*4n﹣1﹣（3n﹣2）*4n，

所以﹣3Tn=1*41+3* ﹣（3n﹣2）*4n，

所以Tn= +（n﹣1）4n

【解析】（1）由題意得，利用an=Sn﹣Sn﹣1 ， 求出數列{an}是等差數列，a1 ， a2 ， a6是等比數列求出首項為1，即可求出數列{an}的通項；a1 ， a2 ， a6是等比數列{bn}的前三項求出其公比，即求出{bn}的通項公式；（2）由（1）可知數列{anbn}的通項公式，再由錯位相減求和法求出Tn ．
【考點精析】掌握等差數列的通項公式（及其變式）和等比數列的通項公式（及其變式）是解答本題的根本，需要知道通項公式：或；通項公式：．