Question

【題目】已知圓過圓與直線的交點(diǎn)，且圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在圓上．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，直線與圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是的垂線（垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)），求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閳A過圓與直線的交點(diǎn)，所以設(shè)圓的方程為，圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在圓上，所以直線過圓的圓心，由條件知圓心，故，解得的值，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題知，，所以直線的斜率為1，設(shè)直線的方程為，與圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，再結(jié)合，求得的值即可．

試題解析：（1）設(shè)圓的方程為，由條件知圓心在直線上，故，解得．

于是所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題知，，所以直線的斜率為1，設(shè)直線的方程為，

，由，得，

故，，

又

代入得，解得或

當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，直線，經(jīng)檢驗(yàn)證直線與圓相交，

故所求直線的方程為．