Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x)=

|x-1|，x＞2 2，-2≤x≤2 x x-1 ，x＜-2

，
（1）求 f[f（-3）]
（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間（-∞，-2）上的單調(diào)性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)先求f（-3），然后求f[f（-3）]．
（2）利用定義法判斷函數(shù)f(x)=

x

x-1

在區(qū)間（-∞，-2）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）由分段函數(shù)可得f（-3）=

-3

-3-1

=

3

4

，所以f[f（-3）]=f(

3

4

)=2．
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上單調(diào)遞減．
設x₁＜x₂＜-2，則f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1(x2-1)-x2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
因為x₁＜x₂0，x₁-1＜0，x₂-10，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查了分段函數(shù)求值以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)的單調(diào)性．要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法，函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明一是利用單調(diào)性，二是利用導數(shù)法．