Question

某港口水的深度y（米）是時間t （0≤t≤24，單位：時）的函數，記作y=f（t），下面是某日水深的數據：

t/h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經常期觀察，y=f（t）的曲線可以近似得看成函數y=Asinωt+b的圖象，
（1）試根據以上的數據，求出函數y=f（t）的近似表達式；
（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的，某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，試求一天內船舶安全進出港的時間．

Answer 1

分析：尋求變量之間的關系是解題的關鍵．引進角，利用三角函數的定義，易得變量之間的關系，其模型是三角函數．

解答：解：（1）由已知數據，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=13-10=3，b=10，所以y=3sin

π

6

t+10；
（2）由題意，該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5（m），∴3sin

π

6

t+10≥11.5，
　　即

π

6

+2kπ≤

π

6

t ≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天內，取k=0或1，
　　所以1≤t≤5或13≤t≤17．
　　故該船可在當日凌晨1時進港，17時離港，它在港內至多停留16小時．

點評：求解具有周期變化現象的實際問題關鍵是能抽象出三角函數模型，解決的步驟是：審題，建模，求解，還原．