Question

給出下列四個命題
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x₀∈R，cosx₀≤0”
②若0＜a＜1，則方程x²+a^x-3=0只有一個實數根；
③對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＜0；
④一個矩形的面積為S，周長為l，則有序實數對（6，8）可作為（S，l）取得的一組實數對，其正確命題的序號是

①③

．（填所有正確的序號）

Answer 1

分析：①利用全稱命題的否定是特稱命題即可判斷其正誤；
②在同一坐標系中利用y=a^x（0＜a＜1）與y=3-x²的交點個數即可判斷；
③利用偶函數在關于原點對稱區間上的單調性即可判斷其正誤；
④依題意，可設該矩形的兩邊長為a，b，列式計算即可判斷其正誤；

解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x₀∈R，cosx₀≤0”正確；
②當0＜a＜l，y=a^x為減函數，與y=3-x²交點個數是兩個，即0＜a＜1時，方程x²+a^x-3=0有兩個實數根，故②錯誤；
③，由題意得，f（x）為偶函數，且在（0，+∞）上單調遞增，故在（-∞，0）上單調遞減，于是“當x＜0時，f′（x）＜0”正確；
④，設該矩形的兩邊長為a，b，則ab=6且2a+2b=8，
∴a²-4a+6=0，
∵△=16-24＜0，
∴方程a²-4a+6=0無解，故④錯誤；
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查命題間的關系，考查函數的零點與函數的性質，考查方程思想與轉化思想的應用，屬于中檔題．