Question

定義域為R的連續函數f（x），對任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其導函數f′（x）滿足（x-2）f′（x）＞0，則當2＜a＜4時，有（　　）

A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）

B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）

C．f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

D．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)

Answer 1

分析：根據條件f（2+x）=f（2-x）求出函數的對稱軸，（x-2）f′（x）＞0求出函數的單調區間，再判定2、log₂a與2^a的大小關系，由單調性得出結論．

解答：解：∵對任意x都有f（2+x）=f（2-x），∴x=2是f（x）的對稱軸，
又∵（x-2）f′（x）＞0，
∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；
又∵2＜a＜4，∴1＜log₂a＜2，4＜2^a＜16；
由f（2+x）=f（2-x），得f（x）=f（4-x），
∴f（log₂a）=f（4-log₂a）；
由1＜log₂a＜2，得-2＜-log₂a＜-1，
∴2＜4-log₂a＜3；
∴2＜4-log₂a＜2^a，
∴f（2）＜f（4-log₂a）＜f（2^a），
即f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故選：D．

點評：本題考查了利用導數確定函數的單調性以及利用單調性比較函數值的大小問題，是易錯題．