Question

如圖所示，已知ABCD是正方形，邊長為2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求異面直線PC與BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E點，使PC⊥平面ADE，若存在，確定點E位置，若不存在說明理由；
（2）若PD=m，記二面角D-PB-C的大小為θ，若θ＜60°，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①先建立空間直角坐標系，找到各定點的坐標，求出

PC

與

DB

的坐標，用向量的夾角公式求出向量

PC

與

DB

的夾角，利用圖象判斷，向量

PC

與

DB

的夾角就是異面直線PC與BD所成的角．
②先求出平面DPB與平面CPB的法向量，用向量夾角公式計算兩個法向量的夾角，結合圖象可判斷，二面角的大小是兩個法向量的夾角的補角，可得二面角的余弦．
③先假設在PB上存在E點，使PC⊥平 面ADE，用含參數的式子表示

PE

，

AE

，因為PC⊥平 面ADE，所以

PC

•

AE

=0，就可求參數的值，若能求出，則假設正確，否則，假設不成立．
（2）先求出平面PBD 的法向量，以及平面PBC的法向量，則兩個法向量的夾角余弦的絕對值即為二面角D-PB-C余弦cosθ，
因為θ＜60°，就可得到關于m的不等式，解出m的范圍．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）
①∵

PC

=（0，2，-2），

DB

=（2，2，0）
∴c0s＜

PC

，

DB

＞=

PC •  DB

| PC|  | DB |

=

4

2 2• 2 2

=

1

2

∴＜

PC

，

DB

＞=60°
∴異面直線PC與BD所成的角為60°
②由①知

DP

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），

CB

=（2，0，0），

PC

=（0，2，-2）
設平面DPB的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），平面CPB的法向量

n

=（x₂，y₂，z₂）
∵

DP

⊥

m

，

DB

⊥

m

，

CB

⊥

n

，

PC

⊥

n

∴

DP

•

m

=0，

DB

•

m

=0，

CB

•

n

=0，

PC

•

n

=0
即

2z1=0 2x1+2y1

=0，

2x2=0 2y2-2z2

=0
∴取

m

=（1，-1，0），

n

=（0，1，1）
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

又∵二面角D-PB-C為銳角，∴二面角D-PB-C的余弦值為

1

2

．
③假設在PB上存在E點，使PC⊥平 面ADE，記

PE

=λ

PB

∵

PB

=（2，2，-2），∴

PE

=（2λ，2λ，-2λ），∴E（2λ，2λ，2-2λ）
∴

AE

=（2λ-2，2λ，2-2λ），若PC⊥平面ADE，則有PC⊥AE，
即

PC

•

AE

=8λ-4=0∴λ=

1

2

，E（1，1，1）
又∵AD⊥面PDC，∴PC⊥AD，∴PC⊥平面ADE．
∴存在E點且E為PB的中點時，PC⊥平面ADE．
（2）依題意P（0，0，m）
∵PD⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD
∴

AC

=（-2，2，0）為平面PBD的一個法向量

BC

=（-2，0，0），

PC

=（0，2，-m）
設平面PBC的法向量為

t

=（a，b，c）
則

t

•

BC

=0，

t

•

PC

=0
∴

-2a=0 2b-mc=0

，取

t

=（0，m，2）
∵|cosθ|=|cos＜

AC

，

T

＞|=|

AC • t

| AC |•| t |

|=

m

2 • m2+4

∵θ＜60°，∴|cosθ|=cosθ＞

1

2

∴

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解得m＞2
∴m的取值范圍為（2，+∞）

點評：本題主要考查在空間幾何體中，異面直線所成角，二面角的求法，以及線面垂直的證明，綜合考察了學生的識圖能力，空間想象力，轉化能力以及計算能力．