Question

過點P（2，1）作拋物線y²=4x的弦AB，若弦恰被P點平分
（1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示）
（2）求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．
（2）把直線方程與拋物線的方程聯立，利用弦長公式即可得出．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

⇒（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
由于直線的斜率存在，故

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2，
從而直線AB的方程為：y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．
（2）

y2=4x y=2x-3

⇒（2x-3）²=4x即4x²-16x+9=0，
因△＞0，故

x1+x2=4 x1x2= 9 4

于是|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

16-9

=

35

．

點評：熟練掌握“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式、直線與拋物線相交問題轉化為直線方程與拋物線的方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等是解題的關鍵．