Question

（2012•西山區模擬）遞減等差數列{a_n}中，a₁+a₇=10，a₂•a₄=45，
①求{a_n}的通項公式a_n．
②若b_n=|a_n|，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：①設出公差d根據條件a₁+a₇=10，a₂•a₄=45可得到關于d，a₁的方程組即可求出d，a₁（但要注意d＜0）然后根據等差數列的通項公式即可求出a_n．
②根據①可令a_n≥0可判斷出等差數列{a_n}的正負項的分布情況然后再結合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|對n進行討論去掉絕對值再利用等差數列{a_n}的前n項和公式即可求解．

解答：解：①設遞減等差數列{a_n}的公差為d則d＜0
∵a₁+a₇=10，a₂•a₄=45
∴

2a1+6d=10 (a1+d)(a1+3d)=45

∴

a1=11 d=-2

∴a_n=13-2n
②由①知a_n=13-2n
令a_n≥0
∴n≤

13

2

∴等差數列{a_n}的前6項均正從第7項開始均負
∴當n≤6時s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a_n
=

n(11+13-2n)

2

=n（12-n）
當n＞6時s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=（a₁+a₂+…+a₆）-[（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a₆）]
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2s₆-s_n
=36+（n-6）²
綜上：Sn=

n(12-n)，(n≤6) 36+(n-6)2，(n＞6)

點評：本題主要考查了等差數列通項公式的求解以及利用等差數列的性質求數列b_n=|a_n|的前n項和，屬常考題，較難．解題的關鍵是利用等差數列{a_n}的通項a_n判斷出等差數列{a_n}的正負項的分布情況再結合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|對n進行即可！