Question

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E、F、G分別是AB、AD、CD的中點，計算：

(1)·；
(2)·；
(3)EG的長；
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．

Answer 1

（1）   （2）－   （3）   （4）

解：設＝a，＝b，＝c.
則|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，
(1)·＝(c－a)·(－a)
＝a²－a·c＝；
(2)·＝ (c－a)·(b－c)
＝ (b·c－a·b－c²＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋
＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.
||²＝a²＋b²＋c²－a·b＋b·c－c·a＝.
即||＝，
所以EG的長為.
(4)設、的夾角為θ.
＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cosθ＝＝－，
由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.