Question

已知定點及橢圓,過點的動直線與橢圓相交于兩點．
（1）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；
（2）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：
（1）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為,
將代入,
消去整理得，         …………………  2 分
設,

① ②

則                     

由線段中點的橫坐標是，
得，解得，適合①
所以直線的方程為或； ……………… 5分
（2）假設在軸上存在點，使為常數．
（ⅰ）當直線與軸不垂直時，由（1）知
 ，  ③
所以
；       …………………………7分
將③代入，整理得

 ，     
注意到是與無關的常數，從而有，
此時 ；       ……………………………………………… 10分
（ⅱ）當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，
當時，亦有 ；
綜上，在軸上存在定點，使為常數. ……………  12分

略