Question

設動點的坐標為（x、），向量，，且=8.

   （I）求動點的軌跡的方程；

   （Ⅱ）過點作直線與曲線交于、兩點，若（為坐標原點），是否存在直線，使得四邊形為矩形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（I）因為=8，所以.

       所以動點的軌跡是到定點，的距離之和為8的橢圓.

       則曲線的方程是.

   （Ⅱ）因為直線過點N（0，2），若直線的斜率不存在，則的方程為，與橢圓的兩個交點A、B為橢圓的頂點.

       由，則與重合，與OAPB為四邊形矛盾.5分

       若直線的斜率存在，設方程為，，.

       由得.

       恒成立.

       由根與系數關系得：，.

       因為，所以四邊形為平行四邊形.

       若存在直線使四邊形為矩形，則.

       所以.

       所以.

       即.

       化簡得： . 與斜率存在矛盾.   

       則不存在直線，使得四邊形為矩形.