Question

設函數f（α）=sinα+

3

cosα，其中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P點的坐標為（

3

，1），求f（α）的值；
（2）若點P（x，y）為平面區域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個動點，試確定角α的取值范圍，并求函數f（α）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的定義，算出sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，代入即可得到求f（α）的值；
（2）作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖所示的△ABC及其內部區域，運動點P并加以觀察，可得α∈[

π

4

，

π

2

]．利用輔助角公式化簡得f（α）=2sin（α+

π

3

），由α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]結合正弦函數的圖象與性質加以計算，可得函數f（α）的最小值和最大值．

解答：解：（1）∵P點的坐標為（

3

，1），可得r=|OP|=

3+1

=2，
∴由三角函數的定義，得sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
故f（α）=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

×

3

2

=2．
（2）作出不等式組

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面區域，
得到如圖所示的△ABC及其內部區域，
其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），
∵P為區域內一個動點，且P為角α終邊上的一點，
∴運動點P，可得當P與A點重合時，α=

π

2

達到最大值；
當P與線段BC上一點重合時，α=

π

4

達到最小值．由此可得α∈[

π

4

，

π

2

]．
∵f（α）=sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），
∴由α∈[

π

4

，

π

2

]，可得α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
當α+

π

3

=

5π

6

即α=

π

2

時，f（α）有最小值2sin

5π

6

=1；
當α+

π

3

=

7π

12

即α=

π

4

時，f（α）有最大值2sin

7π

12

=

6 + 2

2

．
綜上所述函數f（α）的最小值為1，最大值為

6 + 2

2

．

點評：本題給出角α終邊上的一點P，在P滿足特殊條件下求f（α）=sinα+

3

cosα的最值．著重考查了任意角三角函數的定義、二元一次不等式組表示的平面區域和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．