Question

【題目】已知函數f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（1）若函數y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線2x+y﹣3=0平行，求a的值；
（2）若 ，試討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）的定義域為 .

由題意 ，解得 ∴ ．

（2）

解：若 ，則 . ．

（1）令 ，由函數定義域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0

①當a≥0時， ，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

②當a＜0時， ，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

（2）令 ，即2x+4a+1＜0

①當a≥0時，不等式f'（x）＜0無解；

②當a＜0時， ，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

綜上：當a≥0時，函數f（x）在區間 為增函數；

當a＜0時，函數f（x）在區間 為增函數；

在區間 為減函數．

【解析】（1）先求函數的定義域，然后求出函數的導函數，根據導數的幾何意義和極值的定義建立方程組 ，解之即可；（2）討論a的正負，然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．