Question

有一組數據：x₁，x₂，…，x_n（x₁＜x₂＜…＜x_n）的算術平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下數據的算術平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數據的算術平均值為11．   
（1）求出第一個數x₁關于n的表達式及第n個數x_n關于n的表達式．
（2）若x₁，x₂，…，x_n都是正整數，試求第n個數x_n的最大值，并舉出滿足題目要求且x_n取到最大值的一組數據．

Answer 1

（1）依條件得：

x1+x2+…+xn=10n         (1) x1+x2+…+xn-1=9(n-1)  (2) x2+x3+…+xn=11(n-1)     (3)

由（1）-（2）得：x_n=n+9，
又由（1）-（3）
得x₁=11-n
（2）由于x₁是正整數，故 x₁=11-n≥1，
?1≤n≤10，故x_n=n+9≤19
當n=10時，x₁=1，x₁₀=19，x₂+x₃+…+x₉=80，
此時，x₂=6，x₃=7，x₄=8，x₅=9，x₆=11，x₇=12，x₈=13，x₉=14．