Question

（2012•馬鞍山二模）下面四個命題：
①命題“?x∈R，使得x²+x+l＜0”的否定是真命題；
②一組數據18，21，19，a，22的平均數是20，那么這組數據的方差是2；
③已知直線l₁：a²x-y+6=0與l₂：4x-（a-3）y+9=0，則l₁⊥l₂的必要條件是a=-1：
④函數f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有兩個零點x₁、x₂，則一定有0＜x₁x₂＜1．
其中真命題是

①②④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：①根據命題“?x∈R，使得x²+x+l＜0”是假命題，其否定為真命題，從而得到答案．
②先由平均數的公式計算出a的值，再根據方差公式計算．
③根據l₁⊥l₂ ，斜率之積等于-1可得a²×

4

a-3

=-1，由此求得a的值．
④先將f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有兩個零點轉化為y=|lgx|與y=2^-x有兩個交點，然后在同一坐標系中畫出兩函數的圖象得到零點在（0，1）和（1，+∞）內，即可得到-2^-x₁=lgx₁和2^-x₂=lg x₂，然后兩式相加即可求得x₁x₂的范圍．

解答：解：①∵命題“?x∈R，使得x²+x+l＜0”是假命題
∴否定命題真命題；正確；
②：a=5×20-1（8+21+19+22）=20，
s²=

1

5

[（18-20）²+（21-20）²+（19-20）²+（20-20）²+（22-20）²]=2．
③∵l₁⊥l₂ ，∴a²×

4

a-3

=-1，4a²+a-3=0，解得 a=3或-1．故③不正確；
④：f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有兩個零點x₁，x₂
即y=|lgx|與y=2^-x有兩個交點
由題意x＞0，分別畫y=2^-x和y=|lgx|的圖象
發現在（0，1）和（1，+∞）有兩個交點
不妨設 x₁在（0，1）里 x₂在（1，+∞）里
那么 在（0，1）上有 2^-x₁=-lgx₁，即-2^-x₁=lgx₁…①
在（1，+∞）有2^-x₂=lg x₂…②
①②相加有2^-x₂-2^-x₁=lgx₁x₂
∵x₂＞x₁，∴2^-x₂＜2^-x₁ 即2^-x₂-2^-x₁＜0
∴lgx₁x₂＜0
∴0＜x₁x₂＜1．正確．
故答案為：①②④．

點評：考查命題、統計、邏輯、函數零點、指對數函數性質等，較難題．